一、波函数与薛定谔方程

1. 一维薛定谔方程: (含时)
   i\hbar\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + V \Psi

2. 波包假设夸大了波动性，大量粒子聚集夸大了粒子性

3. 玻恩统计诠释：波函数的模平方为粒子的概率分布函数（概率密度函数）
   |\Psi (x, t)|^2 = \Psi (x, t) \Psi^* (x, t)
   更具体表示为: t 时刻时, |\Psi (x, t)|^2 \mathrm{~d}x 为粒子出现在 \mathrm{d}x 长度元中的概率
   \int \limits_{a}^{b} |\Psi (x, t)|^2 \mathrm{~d}x = P（t时刻粒子出现在ab间的概率）

二、归一化

1. 归一化: 积分在全空间上积分为 1
   \int \limits_{-\infty}^{\infty} |\Psi (x, t)|^2 \mathrm{~d}x = 1

2. 波函数\Psi(x, t) 由薛定谔方程决定，如何保证归一化？

   若 \Psi(x, t) 是薛定谔方程解, 则 A \Psi (x, t) 也一定满足薛定谔方程
   取任一 (复) 常数 A 使 A \Psi (x, t) 满足归一化
   则A \Psi (x, t) 和 \Psi(x, t) 表示粒子的同一个状态

3. 对于某些 \Psi(x, t) 不可归一化：

   ① 全空间积分无限大
   ② 平凡解 \Psi(x, t) = 0

   波函数是平方可积（单值、有限、连续）的, 位于希尔伯特空间